Le problème de Bâle

Le problème de Bâle est un problème mathématique qui consiste à déterminer la limite de la somme \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dots +\dfrac{1}{n^2}\) .
Bien qu'établir la convergence d'une telle somme soit accessible avec les notions vues en classe de terminale, déterminer la valeur de la limite de cette somme utilise d'autres notions plus avancées.

En 1735, le mathématicien Leohnard Euler est alors le premier à démontrer que :   \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi ^2}{6}\) .

Exercice

En utilisant le résultat précédent, écrire une fonction bale en Python qui permet d'obtenir une valeur approchée de \(\pi\) . Comparer alors la vitesse de convergence de cette somme avec les méthodes précédemment utilisées.